Łukasz Pikier
Sławiński |
Dobro i Zło w matematyce |
III 2019 |
Niedawno doszedłem do
pełnego rozeznania:
DOBRO! Należy
rozsiewać DOBRO, a wypleniać ZŁO.
Postanowiłem więc sprawdzić jak to jest z tym w matematyce.
Chyba nikt nad tym się nie zastanawiał.
Ale ja muszę!
Zagadnienia trudne to nie dla mnie. Wstyd się przyznać
ale nie mam pojęcia o analizie funkcjonalne ani o całkach eliptycznych. Czyham zatem na zagadnienia sformułowane prosto i dotychczas
nieroztrzygnięte bądź nieporuszane (bo jestem podejrzliwy). Jedno z nich udało
mi się ostatnio roztrzygnąć – pokażę jak bym to uczyniłem wypatrując we
wszystkim Dobra i Zła.
Uściślenie Mediany
Mediana to od dawna znany
sposób zastępowania wielu liczb jedną – taką pośrodku. Kiedy ilość tych
liczb jest nieparzysta – pośrodku jest „środkowa” (np dla 1
2 3 10 12 = 3) – zatem nic trzeba
rachować i to jest Dobre. Ale zaraz zaraz.. kiedy ilość liczb jest parzysta (np 1 2 3 10 12 44) –
pośrodku są dwie, więc nie wiadomo którą wybrać i to jest Zło. W podręcznikach szkolnych podają że w
takim przypadku należy
wziąć ich średnią arytmetyczną.
Wygląda na to że na zasadzie „bo coś
trzeba przyjąć, a na oko to jest sensowne” – czyli mam czynienia ze
Złem.
Postanowiłem coś zrobić. Wówczas
nie myślałem jeszcze w kategoriach Dobra i Zła, więc popchała mnie do tego
niska żądza popisu.
Łatwo było dostrzec (o czym
w podręcznikach milczą), że mediana jest takim punktem nad trasie od którego
suma odległości od wszystkich jest najmniejsza – czyli jest najtańszym
miejscem na magazyn zaopatrujący sklepy, co da się ująć formułą m = min(x){ |x-s1| + |x-s2| +...+ |x-sk| } lecz
niestety kiedy k jest parzyste, miejsce to rozpływa się w cały
przedział. Co robić? Na szczęście gdzieś tam widywałem formuły |x-s1|p + |x-s2|p +...+ |x-sk|p i zwykle było w nich p=2,
postanowiłem więc wziąć p=2 i zmiejszać je powoli aż zacznie zbliżać się do 1 (to chyba tzw granica). To było bardzo trudne,
więc Złe. Ale na szczęście znalazłem robota. Wyszlo mu że dla punktów 1 2 5 8
zbliża do 3,8 – wcale nie do 3,5. Zatem dokonałem wielkiej
konstrukcji: „Pikier Mediana 2017”. I to było Dobro.
Ale potem ochłonąłem...
Co z tego skoro czasem, i
to nawet bardzo czasem, mediana jest taka sama dla niesamowitych mnogości
najróżniejszych punktów!? Ona jest z urodzenia Bardzo Zła. A Zło należy wyplenić. Nigdy więcej Mediana!
Przerzuciłem się więc do starej poczciwej Średniej Arytmetycznej...
Dobroć Średniej
Średnia musiała być używana
juź od zarania dziejów, no bo jak ma podzielić między
siebie łupy kilku wojowników? – każdemu po
równo! To samo musiało się zdarzać kiedy coś wiele
razy mierzono (z ostrożności) i potem trzeba było przyjąć ile to coś wynosi. Ale
kiedy w XVIII wieku matematycy wykryli że średnia
minimalizuje sumę kwadratów odchyleń niektórzy się rozradowali: „Teraz
nie będziemy używać prostackiej średniej” Stąd w 1805 wziął się Postulat
Legendre’a: Jeśli wykonano szereg pomiarów
pewnej wielkości, to najbardziej prawdopodobną jej wartością jest taka której
suma kwadratów odchyleń jest najmniejsza, choć wystarczyłoby wziąć do
tego zwykłą średnią.
Ze zdumieniem dowiedziałem
się żę średnia arytmetyczna nie jest dotąd ugruntowana, że używa się jej z nadzieją że jest Dobra.
To coś dla mnie!
Zastanowiłem się...
Wartość najbardziej
prawdopodobna to ta dla której rozkład pomiarów osiąga
maxymalne prawdopodobieństwo.
Faktem jest
że dla danej próbki takim rozkładem jest ten w którym średnia rozkładu =
średnia próbki, ale nie wynika stąd że próbka pochodzi właśnie z tego rozkładu!
Może pochodzić z jakiegolwiek!
Co robić?... dopasować próbkę do rozkładu!
Aksjomat Wzrastania
Prawdopobieństwa |
Pikier 2017 |
PRAWDĄ jest że: To co się
zdarzyło miało w ostatniej chwili największą szansę zaistnienia |
Na jego słuszność wskazuje
rzeczywistość.
Teraz już dowiedzenie
Postalatu Legendre’a było pestką. Ale że mi się nie chciało, zrobiłem tylko
podglądowy (na Trójącie Pascala).
Tak więc Średnia
Artmetyczna jest DOBRA.
I Ty BĄDŹ ZAWSZE DOBRY.
Kiedy podałem Aksjomat na pewnym forum
matematycznym rzucił się na mnie chór idiotów: „Nie masz pojęcia
rachunku prawdopobieństwa – ono może dotyczyć zdarzeń które dopiero
nadejdą”